La misura di Lebesgue Gianluca Gorni Universit`a di Udine 12 gennaio 2013 Costruiremo la misura di Lebesgue in RN usando in modo essenziale le coordinate canoniche. Lo studio di come cambia la misura al cambiare delle coordinate `e non banale. La dimensione...
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La misura di Lebesgue Gianluca Gorni Universit`a di Udine 12 gennaio 2013 Costruiremo la misura di Lebesgue in RN usando in modo essenziale le coordinate canoniche. Lo studio di come cambia la misura al cambiare delle coordinate `e non banale. La dimensione dello spazio sar`a N maiuscolo per tenerci la variabile n libera per le successioni. Il risultato principale che vogliamo dimostrare `e il seguente. Teorema 0.1. Esiste una σ-algebra L su RN , contenente i boreliani e una misura positiva λ : L → [0, +∞] tali che se I1 , . . . , IN sono intervalli di R allora la misura del prodotto cartesiano λ(I1 × · · · × IN ) coincide col prodotto delle lunghezze degli intervalli. 1 Rettangoli e insiemi elementari Definizione 1.1. Chiameremo rettangolo (o anche pluriintervallo, o cuboide, o parallelepipedo, o scatola, in inglese box ) in RN qualsiasi prodotto cartesiano di N intervalli di R. Nel seguito riserveremo tacitamente la lettera R maiuscola per i rettangoli. Sono permessi anche rettangoli
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