Κεφ. 2 Πραγματικοί αριθμοί.

17 Κεφ. 2 Πραγματικοί Αριθμοί 1. Μέθοδοι Απόδειξης Ισότητας Α = Β i) Ευθεία Απόδειξη: Α = … = … = Β ΑΣΚΗΣΗ Να δείξετε ότι: (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 ΛΥΣΗ (α + β)2 = (α + β)∙(α + β) = α2 + αβ + βα + β2 = α2 + 2αβ + β2 ii) Απόδειξη Ισοδυναμιών: Α = Β  … = … ... More

17 Κεφ. 2 Πραγματικοί Αριθμοί 1. Μέθοδοι Απόδειξης Ισότητας Α = Β i) Ευθεία Απόδειξη: Α = … = … = Β ΑΣΚΗΣΗ Να δείξετε ότι: (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 ΛΥΣΗ (α + β)2 = (α + β)∙(α + β) = α2 + αβ + βα + β2 = α2 + 2αβ + β2 ii) Απόδειξη Ισοδυναμιών: Α = Β  … = …  … = … Ισχύει . ΑΣΚΗΣΗ Να δείξετε ότι για α, β > 0 ισχύει :      ΛΥΣΗ                         2 2 2 2 Ισχύει. iii) Εις Άτοπο Επαγωγή: Έστω Α ≠ Β  … ≠ …  … ≠ … Άτοπο. Άρα Α = Β ΑΣΚΗΣΗ Αν α ρητός αριθμός και β άρρητος αριθμός, να δείξετε ότι ο αριθμός α + β είναι άρρητος αριθμός. ΛΥΣΗ α ρητός => υπάρχουν κ, λ Є Ζ με λ ≠ 0 , ώστε    a Έστω ότι ο αριθμός α + β είναι ρητός, τότε θα υπήρχαν μ, ν Є Ζ με ν ≠ 0 , ώστε:                     ό a             ( διότι: μ, λ, κ, ν Є Ζ => μλ – κν Є Ζ και ν, λ ≠ 0 => νλ ≠ 0 ), πράγμα το οποίο είναι άτοπο διότι από δεδομένα έχουμε β άρρητος. Άρα α + β άρρητος Less