Sommation Par Parties

Sommation par parties La sommation par parties est l'équivalent pour les séries de l'intégration par parties. On l'appelle également trans- formation d'Abel ou sommation d'Abel. 1 Énoncé Soient deux suites (an)n∈N et (bn)n∈N . Pour tous entiers naturels m... More

Sommation par parties La sommation par parties est l'équivalent pour les séries de l'intégration par parties. On l'appelle également trans- formation d'Abel ou sommation d'Abel. 1 Énoncé Soient deux suites (an)n∈N et (bn)n∈N . Pour tous entiers naturels m et N , on définit SN = N ∑ n=0 anbn et Bm = m ∑ k=0 bk. On a alors la relation suivante SN = aN BN − N−1 ∑ n=0 Bn(an+1 − an) . Démonstration On a b0 = B0 et pour tout n > 0, bn = Bn − Bn−1 , donc SN = a0B0 + N ∑ n=1 an(Bn − Bn−1) = N ∑ n=0 anBn − N−1 ∑ k=0 ak+1Bk = aN BN − N−1 ∑ n=0 Bn(an+1 − an) . Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de conver- gence de SN . 2 Similitude avec l'intégration par parties La formule d'intégration par parties s’écrit : ∫ b a f(x)g′ (x) dx = [f(x)g(x)] b a − ∫ b a f′ (x)g(x) dx. Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s’aper- çoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intég Less