26 § 1. Нерівності Р о з в ’я з а н н я. Очевидно, що при будь-яких значеннях a, b і c виконується така нерівність: (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 l 0. Звідси отримуємо: a2 − 2ab + b2 + b2 − 2bc + c2 + c2 − 2ac + a2 l 0; 2a2 + 2b2 + 2c2 l 2ab + 2bc + 2ac;...
More
26 § 1. Нерівності Р о з в ’я з а н н я. Очевидно, що при будь-яких значеннях a, b і c виконується така нерівність: (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 l 0. Звідси отримуємо: a2 − 2ab + b2 + b2 − 2bc + c2 + c2 − 2ac + a2 l 0; 2a2 + 2b2 + 2c2 l 2ab + 2bc + 2ac; a2 + b2 + c2 l ab + bc + ac. ◄ Метод застосування раніше доведеної нерівності У п. 1 ми довели, що для будь-яких a l 0 і b l 0 є правильною нерівність a+b l ab. 2 Її називають нерівністю Коші для двох чисел. Розглянемо, як можна використовувати нерівність Коші під час доведення інших нерівностей. П р и к л а д 3 Доведіть, що для додатних чисел a і b справедлива нерівність 1 1 a + b + l 4. b a Р о з в ’я з а н н я. Застосуємо нерівність Коші для додатних чисел 1 a і . Отримуємо: b 1 a+ b l aæ1 . 2 b 1 a Звідси a + l 2 . b b 1 b Аналогічно можна довести, що b + l2 . a a Віктор Якович Буняковський (1804–1889) Видатний математик ХІХ ст. Народився на Вінниччині. Протягом багатьох років був віце-президентом Петербур
Less
