Метод математической индукциии из книги Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел.

Глава 1 Метод математической индукции 1. Аксиома индукции Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для... More

Глава 1 Метод математической индукции 1. Аксиома индукции Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел. 1.1. Деление с остатком. Докажите, что если a и b — целые числа и b = 0, то существует единственная пара чисел q и r таких, что a = bq + r, 0 r < |b|. 1.2. Позиционная система счисления. Докажите, что при целом q 2 каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде n = akqk + ak−1qk−1 + . . . + a1q + a0, где 0 a0, . . . , ak < q. (См. также 3.125, 11.68.) Определение. Если ak, ak−1, . . . , a1, a0 — цифры числа n в q-ичной системе счисления, то используется запись n = (akak−1 . . . a1a0)q. Для записи числа в десятичной системе счисления используется также запись (akak−1 . . . a1a0)10 = akak−1 . . . a1a0. 1.3. Пусть {an} = a0, a1, . . . , an, . . . — периодическая последовательность, Less