THEOREME DE BEZOUT - THEOREME DE GAUSS 1 ) THEOREME DE BEZOUT Théorème de Bézout : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. Preuve : •...
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THEOREME DE BEZOUT - THEOREME DE GAUSS 1 ) THEOREME DE BEZOUT Théorème de Bézout : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. Preuve : • Supposons qu'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. Soit D le PGCD de a et b, alors D divise a et D divise b, donc D divise au + bv . Donc D divise 1. Donc D = 1. On en déduit alors que a et b sont premiers entre eux. • Supposons que a et b sont premiers entre eux. Considérons l'ensemble E des entiers naturels non nuls de la forme au + bv avec u ∈ ZZ et v ∈ ZZ . E n'est pas vide (E contient a ou -a, E contient b ou -b, E contient 2a + 3b ou -2a - 3b ...), donc E a un plus petit élément m. On peut écrire m = au1 + bv1 avec u1 ∈ ZZ et v1 ∈ ZZ. Écrivons la division euclidienne de a par m : a = mq + r avec r ∈ IN et 0 ≤ r < m . On a alors : a = (au1 + bv1) q + r ⇒ r = a - (au1 + bv1)q ⇒ r = a (1 - u1 q) + b (-v1 q) Donc r
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