4.
Integrales múltiples
4.
1 Integrales dobles
[Las demostraciones son similares a las de R y hacemos pocas].
Generalizamos la definición de la integral en una variable.
Sea f(x,y) acotada en un rectángulo
R = [a,b]×[c,d]⊂R2
.
Dividimos R en n×n...
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4.
Integrales múltiples
4.
1 Integrales dobles
[Las demostraciones son similares a las de R y hacemos pocas].
Generalizamos la definición de la integral en una variable.
Sea f(x,y) acotada en un rectángulo
R = [a,b]×[c,d]⊂R2
.
Dividimos R en n×n subrectángulos iguales Rij = [xi−1,xi]×[yk−1,yk] , del mismo área
∆x∆y= b−a
n
d−c
n .
Llamamos Mik y mik , respectivamente,
al supremo e ínfimo de f en cada Rij y formamos las
sumas superior Un e inferior Ln :
Un =
n
∑
i,j=1
Mij ∆x∆y , Ln =
n
∑
i,j=1
mij ∆x∆y
(sumas de volúmenes de prismas, una superior y otra
inferior al volumen que encierra f(x,y) si f ≥0 ).
Def.
Si ambas sucesiones {Ln} y {Un} tienden hacia un mismo límite, decimos que f
es integrable en R , representamos el límite común por R f ó R f(x,y)dxdy
y le llamamos integral de f en R .
R f representará (similar a lo que sucedía en R ) la suma de
los volúmenes encerrados entre la gráfica de f y el plano z=0
en R , con signos + o − adecuados.
Y al igual que su
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