Correction CCP PC 2004-ep2

Concours commun polytechnique …lière PC 2004 Math 2 parties 1 et 2 PARTIE I 1. Soit un(z) = jn s zn j = n s jzj n . si jzj > 1 on a limn >+1 (jun(z)j) = +1 car la suite géométrique jzj n l’emporte sur la puissance n s quand le produit est indéterminé. On... More

Concours commun polytechnique …lière PC 2004 Math 2 parties 1 et 2 PARTIE I 1. Soit un(z) = jn s zn j = n s jzj n . si jzj > 1 on a limn >+1 (jun(z)j) = +1 car la suite géométrique jzj n l’emporte sur la puissance n s quand le produit est indéterminé. On a donc divergence grossière. si jzj < 1 on a limn >+1 n2 jun(z)j = 0 car la suite géométrique jzj n l’emporte sur la puissance n2 s quand le produit est indéterminé. La série converge absolument , donc converge 5/2:Ce qui veut dire que la série entière a un rayon de convergence de 1. 2. Etude si jzj = 1 1. si s > 1 on a P jn s zn j = P 1 ns série convergente d’après le critère des séries de Riemann donc comme la convergence absolue implique la convergence : (s > 1; jzj = 1) =) P jn s zn j CV si s 0 jn s zn j = n s 1 . La série diverge grossièrement : (s < 0; jzj = 1) =) P jn s zn j DV 2. si z = 1 P n s zn = P 1 ns est une série de Riemann donc diverge si s 2]0; 1] 3. (Sn) est la somme partielle d’une série géométrique (diver Less