Exercices sur la trigonalisation et la jordanisation
Exercice 1 Soit E un espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E ayant n
valeurs propres distinctes {λ1, .
.
.
, λn}.
1.
Montrer que l’ensemble Com = {v ∈ L(E, E)/uv = vu} des...
Mais
Exercices sur la trigonalisation et la jordanisation
Exercice 1 Soit E un espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E ayant n
valeurs propres distinctes {λ1, .
.
.
, λn}.
1.
Montrer que l’ensemble Com = {v ∈ L(E, E)/uv = vu} des endomorphismes de E qui
commutent avec u est un espace vectoriel.
2.
(a) Soit v un ´el´ement de Com.
Montrer que v pr´eserve les espaces propres de u (c’est
`a dire que si Eλ est un espace propre de u associ´e `a la valeur propre λ, on a ∀x ∈
Eλ, v(x) ∈ Eλ).
(b) Donner la dimension des espaces propres de u et montrer que si x est un vecteur
propre de u alors c’est aussi un vecteur propre de v.
(c) A l’aide d’une base convenablement choisie, d´ecrire tous les ´el´ements de Com, et
montrer que Com est de dimension n.
3.
Montrer que Vect(id, u, u2
, .
.
.
, un−1
) ⊂ Com.
4.
On veut maintenant ´etudier l’ind´ependance lin´eaire de la famille {id, u, u2
, .
.
.
, un−1
}.
Pour
cela, on consid`ere n r´eels α0, .
.
.
, αn−1 tels que n
i=0 αiu
Menos
