XXXVI Всероссийская математическая олимпиада школьников
9 класс
Первый день
9.1. Даны квадратные трёхчлены f1(x) = x2+2a1x+b1, f2(x) =
= x2 + 2a2x + b2, f3(x) = x2 + 2a3x + b3. Известно, что
a1a2a3 = b1b2b3 > 1. Докажите, что хотя бы один из этих
трёхчленов...
More
XXXVI Всероссийская математическая олимпиада школьников
9 класс
Первый день
9.1. Даны квадратные трёхчлены f1(x) = x2+2a1x+b1, f2(x) =
= x2 + 2a2x + b2, f3(x) = x2 + 2a3x + b3. Известно, что
a1a2a3 = b1b2b3 > 1. Докажите, что хотя бы один из этих
трёхчленов имеет два корня.
9.2. Семь лыжников с номерами 1, 2, . . ., 7 ушли со старта по
очереди и прошли дистанцию каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют
ровно два лыжника тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол,
состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.
9.3. Можно ли при каком-то натуральном k разбить все натуральные числа от 1 до k на две группы и выписать числа
в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы
получились два одинаковых числа?
9.4. В треугольнике ABC угол A равен 60◦
Less