XXXV Всероссийская математическая олимпиада школьников
9 класс
Первый день
9.1. Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В
лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы
стать хорошими после того, как некоторые черви переползут
из...
More
XXXV Всероссийская математическая олимпиада школьников
9 класс
Первый день
9.1. Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В
лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы
стать хорошими после того, как некоторые черви переползут
из плохих грибов в хорошие?
9.2. Рациональные числа a и b удовлетворяют равенству
a3b + ab3 + 2a2b2 + 2a + 2b + 1 = 0.
Докажите, что число 1−ab является квадратом рационального
числа.
9.3. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1,
BB1, CC1. Прямая, перпендикулярная стороне AC и проходящая через точку A1, пересекает прямую B1C1 в точке D.
Докажите, что угол ADC прямой.
9.4. На рисунке показан треугольник, разбитый на 25 меньших треугольников, занумерованных числами от 1 до 25. Можно ли
эти же числа расставить в клетках квадрата 5 × 5 так, чтобы
любые два числа, записанные в соседних треугольниках, были
записаны и в соседних клетках квадрата? (Треугольники, так
же, как и клетки квадрата, считаются соседними, если имеют
общую с
Less