1.
[2 5 puntos] De la función f : R → R definida por f (x) = ax3
+ bx2
+ cx + d se
sabe que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de
abscisa x = -2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 0.
Calcula a,
b,...
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1.
[2 5 puntos] De la función f : R → R definida por f (x) = ax3
+ bx2
+ cx + d se
sabe que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de
abscisa x = -2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 0.
Calcula a,
b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
abscisa x = 2 tiene pendiente 9.
Solución
f (x) = ax3
+ bx2
+ cx + d tiene por dominio R, por tanto es continua y derivable las veces que nos
haga falta en R .
x = - 1 es un máximo, por tanto f ‘(-1) = 0
La gráfica corta al eje OX en x = -2, por tanto f(-2) = 0
x = 0 es un punto de inflexión, por tanto f ‘’(0) = 0
La recta tangente en x = 2 tiene de pendiente 9, por tanto f ‘(2) = 9
f (x) = ax3
+ bx2
+ cx + d
f ‘(x) = 3ax2
+ 2bx + c
f ‘’(x) = 6ax + 2b
De f ‘’(0) = 0, tenemos 0 = 0 + 2b, de donde b = 0
De f ‘(-1) = 9, tenemos 0 = 3a(-1)2
+ c, de donde 3a + c = 0
De f ‘(2) = 9, tenemos 9 = 3a(2)2
+ c, de donde 12a + c = 9
Restando estas dos últimas ecuaci
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